En la construcción de un paradigma: la investigación en el aprendizaje del conocimiento matemático de ingeniería desde la perspectiva de la complejidad. Año 1. Número 2

Autores: Pedro T. Ortiz y Ojeda; Pedro A. G. Ortiz Sánchez y Patricia Guadalupe Sánchez Iturbe.

RESUMEN
Considerando que el proceso de aprendizaje de las matemáticas es complejo e involucra tres elementos fundamentales que son el sujeto que aprende, el objeto de conocimiento y el espacio cultural que rodea y permea al proceso de aprendizaje y la enseñanza, es por ello necesario integrarlo dentro de una visión sistémica y holística donde se relacionen de manera estructurada los componentes participantes. Estos elementos son el objeto de este artículo.

PALABRAS CLAVE: Matemáticas, conocimiento, gnoseológico, noético, autopoiético.

INTRODUCCIÓN
Dentro del proceso de aprendizaje de las matemáticas y debido a la relación dinámica entre el sujeto que aprende, el concepto que aprende y las condiciones culturales del sujeto aprendiente, la interacción de estos tres factores será de suma importancia para provocar un genuino aprendizaje de dicha disciplina. Y dependiendo el sector del que se trate, las relaciones entre los componentes matemáticos pueden ser más o menos complejas.

De modo general, el sujeto está involucrado en una condición de conocer conceptos: los objetos de las matemáticas. En el caso de las matemáticas para Ingeniería se deben considerar dos facetas: el componente formal y el componente práctico o de aplicación. El componente formal de las matemáticas se refugia en la estructura de la lógica científica produciendo la artificialidad de los conceptos fundamentales con el fin de establecer la veracidad del mismo concepto.

El componente práctico está definido por el ambiente en el que está situado el sujeto. En la Ingeniería se espera que el sujeto después de cursar las matemáticas “tenga la capacidad de pensar en términos de lo que se conoce como ingenio y creatividad para resolver problemas de su práctica profesional, es decir, establecer modelos de la realidad para poder desarrollar criterios de solución de problemas o tomar decisiones” (Cruz Bermúdez et al., 2013).

El proceso de aprender los conceptos radica en la capacidad cognitiva del sujeto, uno de los componentes es la capacidad psicológica personal basada en la inteligencia, la memoria, la imaginación y el pensamiento, el otro componente es la psicología social relacionada con la empatía, el trabajo en equipo o colaborativo, así como la facilidad de establecer redes de relaciones personales.

Existen dos factores de orden socioeconómico a considerar para el aprendizaje de las matemáticas: el tiempo y los programas de estudio. Planteando que el hombre es un animal económico, los conocimientos que se plasman en el proceso educativo, tanto el contenido de los materiales de estudio, como los que se aprenden tienen una relación directa con una faceta socioeconómica que está presente en forma de programas y en el currículo para realizar el aprendizaje en un tiempo determinado, que varía de sujeto a sujeto.

DESARROLLO
Para entender el fenómeno educativo de las matemáticas es necesario establecer un modelo que esté basado en la interdisciplinariedad del conocimiento con el fin de asimilar la complejidad de los elementos básicos y la simplicidad que permita interpretar la educación matemática con el fin de establecer secuencias de aprendizaje adecuadas a las competencias requeridas por la sociedad y que desarrollará el sujeto con base en sus capacidades personales.

Se usará el método cualitativo de investigación bajo las técnicas que se aproximen a caracterizar los hechos para comprender el proceso educativo de las matemáticas bajo el contexto de una visión simbólica de la noética y gnoseológica de la ciencia.

Al sujeto se le puede considerar como un ser bio-psico-social, es decir, en general los seres vivos son sistemas biológicos que están determinados estructuralmente, lo cual se modifica por las interacciones con el medio, pero no están determinados por éste, de manera que sólo ocurren cambios si son congruentes con el medio durante un proceso continuo de modificaciones estructurales, así, los sistemas vivos son autopoiéticos, es decir, están en continua producción de sí mismos, a través de un ininterrumpido cambio de sus componentes que determina su continuo impulso productivo.

Las interacciones de un ser vivo con otros seres vivos permiten desarrollar una red de relaciones cuyo mecanismo fundamental es el lenguaje, el cual define la comunicación de ideas para el intercambio de opiniones de manera que genera el concepto de grupo social en el cual el sujeto es el componente fundamental. La capacidad del ser biológico de adaptarse a las circunstancias del medio físico y social le permitirá desarrollar cambios conceptuales que se observarán en el comportamiento del sujeto.

Así, el sujeto permanece activo en el proceso de aprendizaje durante la mayor parte de su vida, es decir, se encuentra como un vigía, construyendo significados, partiendo de las experiencias de su interacción personal.

La construcción del sujeto como persona “se desarrolla en la construcción de significados dentro del grupo social que forma y va aprendiendo las convenciones del grupo a través de la imitación, con propuestas iniciales que se forman en términos del ensayo y el error, sin embargo el sujeto va adquiriendo experiencia y conciencia de su propia práctica a la que le va dando significado de acuerdo a su propia personalidad” (Allégre, 2003).

La capacidad de adaptarse a nuevas circunstancias de manera rápida le permite al sujeto sobresalir en diferentes ambientes, de manera que se define su perfil de inteligencia personal, matizado por el medio que lo rodea, es decir por las prácticas socializantes del grupo social del que forma parte. Así, en el caso del que el sujeto se forme en un ambiente físico extremo tendrá las habilidades para sobrevivir en esas condiciones, sin embargo si el sujeto cambia de condiciones naturales tendrá que apelar a sus capacidades cognoscitivas para adaptarse a las nuevas circunstancias que lo rodean.

Factores que determinan el aprendizaje
El proceso de construcción de significados en el sujeto es un medio poderoso para lograr la adaptación a las nuevas circunstancias, una herramienta fundamental es el intercambio de ideas con el grupo de personas que lo rodean, el uso del lenguaje como medio de comunicación permite al sujeto lograr una visión personal de los retos y problemas a vencer así como de las opiniones que definirán su modo de actuar y proceder. Se puede considerar que el proceso de contar fue anterior al lenguaje escrito.

El uso del lenguaje descriptivo permite al sujeto proyectar su pensamiento y aprender a generar ideas, creando situaciones imaginarias que permiten establecer una nueva forma de prever situaciones en las cuales proyectará los posibles mecanismos de solución de problemas afinando su capacidad creativa en diferentes ambientes y circunstancias.

La civilización y la cultura están definidas por el lenguaje debido a que es la forma básica de transmitir información, aprovechando las experiencias y conocimientos pasados, los cuales definen la educación presente con miras a establecer una conexión hacia el futuro para legar a las generaciones venideras el bagaje cultural acumulado.

El uso de ciertos símbolos en la comunicación, usados para indicar los objetos reales, permitió la generalización de los conceptos para construir todo un esquema de manera que estructure situaciones hipotéticas que son determinantes para resolver problemas o la toma de decisiones (Bachelard, 2003). Lo que en palabras llanas equivale a los procesos de representación simbólica del conocimiento.

El lenguaje es adquirido por la integración del sujeto a un grupo humano, durante un proceso de maduración intelectual, que dependiendo de la edad del individuo puede estar acompañado de la maduración física, de manera que la palabra es elaborada bajo la influencia de dos factores, la maduración física e intelectual y el condicionamiento social que es reflejo del ambiente cultural, así que se permite perfilar al sujeto para ser conocido como persona por los demás y entablar una vida social.

De manera general es posible considerar que el lenguaje es la herramienta de expresión y de comunicación del pensamiento, utilizando fundamentalmente signos que tienen un significado y valor definido por la cultura. El lenguaje como forma de expresión puede representarse de diferentes formas, ser pasivo, activo o indirecto. El pasivo se caracteriza por ser comprendido por el sujeto, pero no puede utilizarlo por alguna circunstancia externa; el activo es el que se utiliza para hacer comprender a otros sujetos; y el lenguaje indirecto que es el que se transmite usando expresiones corporales o actitudes.

En cuanto a la comunicación, el lenguaje se considera una herramienta que tiene como fin fundamental reproducir el mensaje recibido o creado, por ejemplo, en el cerebro.

El proceso de la comunicación cuenta con los siguientes componentes: el emisor, quien genera la comunicación, la fuente de información, por ejemplo, una idea o un juicio, que puede implicar todo un proceso argumentativo, deductivo o inductivo. El mensaje, el contenido de la comunicación (lo más apegado a la realidad y su contexto), que además debe ser útil para captar la atención del receptor, ser claro sobre lo que se está comunicando, y consistente. Este mensaje debe ser adecuado para evitar distorsiones o errores y que la comunicación se logre con la máxima efectividad posible, para que el receptor use el menor esfuerzo para asimilar la comunicación.

Otro componente de la comunicación es el vehículo que transporta la misma, el canal, puede ser formal e informal. En los formales, la comunicación suele ser vertical descendente, la cual se produce cuando la comunicación se basa en el principio de autoridad, como puede ser la comunicación de un maestro, un jefe hacia los subordinados (y viceversa); también puede ser de tipo horizontal, cuando la comunicación se da dentro en un mismo nivel de jerarquía, como en los alumnos, los obreros o los empleados.

El receptor es el componente final del proceso de comunicación, es el que escucha. La capacidad del receptor está en función de los componentes anteriores, la interpretación de la información es relacionada con gran cantidad de factores como puede ser la atención del receptor, sus creencias, su forma de pensar, su capacidad de compresión sobre el tema, entre otros.

Existen factores de comunicación que impiden, deforman o producen obstáculos en el proceso, esto sucede por falta de precisión, originando diferentes interpretaciones de manera que el receptor entiende en términos de la afinidad cultural del emisor, sin comprender realmente lo que se dijo, de manera que se crea una barrera semántica.

Otros factores que evitan la comunicación efectiva son las barreras psicológicas, caracterizadas por factores de orden mental que dificultan la posibilidad de comprender y aceptar ideas nuevas.

El procesamiento de la información
Cuando se considera el procesamiento de la información es importante ubicar a la psicología cognitiva, la cual divide la actividad mental en tres temas: el cognitivo en el que se estudia el pensamiento, el conocimiento y la percepción; el aspecto afectivo que incluye los sentimientos y las emociones; y por último el aspecto conativo que incluye el actuar y el hacer.

La actividad cognitiva incluye las formas en que se conoce, percibe, reconoce, recuerda, imagina, conceptualiza, juzga y razona, así se puede establecer que el tratamiento de la información y la vinculación con el aprendizaje implica todo lo que sigue: el proceso de percepción de la información visual y auditiva, el almacenamiento y recuperación de la información, la adquisición del lenguaje, la imaginación y el pensamiento independiente y las diferencias individuales en los estilos de percibir y pensar.

El conocimiento se puede desarrollar básicamente en tres sistemas de representación o codificación, la representación activa con respecto al medio ambiente permite experimentar diversos tipos de fenómenos, la icónica permite tratar a los cuerpos en forma concreta, y la simbólica representa o codifica la realidad en forma abstracta. Así, se puede establecer que la cognición se aboca al tratamiento de la información, la iconicidad y la imagen mental que se ubica en la estructura del pensamiento, al igual que la manera en la que se guarda, utiliza y ordena el conocimiento adquirido.

Adicionalmente existen las barreras fisiológicas, las cuales impiden recibir o emitir con claridad y precisión cualquier información a causa de algún problema de carácter orgánico en el emisor o el receptor. Las barreras físicas son la distancia o el ruido ambiental que impiden una comunicación efectiva. Por último están las barreras de tipo administrativas, las que afectan a la comunicación debido a la estructura organizacional o la inadecuada planeación.

Las fuentes de error se pueden considerar como los elementos que distorsionan el contenido o mensaje de la comunicación y son llamados ruidos. El último elemento sistémico es la retroalimentación que permite lograr la comunicación partiendo de la información en procesos sucesivos.

La visión sistémica del proceso de comunicación permite interpretar en forma integrada y en su respectivo contexto al proceso de enseñanza-aprendizaje. El profesor, el libro, la computadora, transmiten o emiten información que es interpretada y asimilada por el sujeto cuando las fuentes de distorsión son mínimas, eliminándolas por la retroalimentación constante dentro del sistema, de manera que el conocimiento adquirido es aplicado en la solución de problemas o en la toma de decisiones, los cuales están relacionados con el conocimiento básico del sujeto.

El lenguaje de las matemáticas
Las matemáticas establecen verdades con una precisión única, se expresan en términos simbólicos unidos con una estructura lógica. Se establece una relación de las matemáticas con el lenguaje, relacionando la sintaxis, la semántica y la lógica, de manera que contienen grandes volúmenes de información en términos breves: términos matemáticos o ecuaciones.

El lenguaje de las matemáticas tiene un significado universal, es identificado en cualquier lugar del mundo, sin embargo la comprensión de su estructura lógica produce dificultades en el proceso de la comunicación, debido fundamentalmente a las diferentes formas de razonar y dar significado al proceso lógico.

El proceso pedagógico del aprendizaje está basado en la imitación, es decir, se pretenden establecer formas y categorías por analogía, con el fin de crear reformulaciones sucesivas del conocimiento para adecuarlo al contexto en el que se asimile, inicialmente se va a tientas, se conjetura, se hacen hipótesis sobre el conocimiento, se usa la imaginación, la intuición e inclusive la adivinación.

En el proceso del aprendizaje de las matemáticas el lenguaje permite al maestro conducir al alumno hacia ciertas experiencias de manera interactiva que permitan la construcción de esquemas o estructuras mentales, construir el significado, la lógica del concepto. El alumno construye su propio conocimiento en una actividad estrictamente individual. El sujeto debe interactuar con el objeto del conocimiento para lograr el aprendizaje, se basa en la mediación y la interacción con otros con el fin de construir su conocimiento en términos de su desarrollo cognitivo.

Si se considera que el componente cognitivo llamado inteligencia tiene un papel en el aprendizaje de las matemáticas, la denominada inteligencia social definida como la capacidad de adaptarse al entorno es un componente importante en el proceso de aprendizaje, así como los componentes individuales de imaginación, creatividad, análisis y síntesis, de tal manera que se defina con los elementos anteriores un estilo cognitivo de aprendizaje de las matemáticas.

La realidad está formada por el espacio y el tiempo, configuran la naturaleza los fenómenos que se representan. Su actuación es en forma de campos, como el gravitatorio, el eléctrico y el magnético usando el potencial como forma de expresión, originando flujo u ondas sobre partículas y cuerpos. En el proceso de interpretación de los efectos y fenómenos naturales se utiliza el lenguaje de las matemáticas. Al desarrollarse profesionalmente el ingeniero deberá resolver diversos tipos de problemas y utilizar criterios lógicos para tomar diversas decisiones.

La raíz epistemológica de los fenómenos está formada por la complejidad, la incertidumbre y las condiciones de estabilidad, que se ven reflejadas en el manejo de pocas o gran cantidad de variables, en lo determinístico y lo probabilístico, lo estático y lo dinámico, las cuales están relacionadas con la forma, el número y el tiempo.

De manera generalizada se establecen como elementos fundamentales de la raíz epistemológica a los siguientes fenómenos: el orden, el cambio o la variación y la estocasticidad, que se manifiestan en forma de conceptos matemáticos en la teoría del caos, el cálculo y las probabilidades.

Las matemáticas y su alcance
En el proceso de formación profesional el estudiante de ingeniería analizará fenómenos físicos que están fundamentalmente relacionados con la física clásica es decir, la física en la que está fundamentalmente el mundo visible, no entrará en el conocimiento físico del mundo microscópico o el mundo macroscópico. La visión del análisis del mundo visible está relacionada con la teoría del conocimiento, la epistemología de corte positivista, basada fundamentalmente en las ideas cartesianas y newtonianas.

Según la visión de este paradigma epistemológico la materia es definida como un medio continuo, en donde desaparecen todas las relaciones con el aspecto atómico, definiendo como fundamento de análisis al cuerpo y a la partícula. El cuerpo puede tener propiedades como la rigidez, la plasticidad, la conductividad, la resistencia, es decir, propiedades mecánicas, eléctricas, magnéticas, ópticas, acústicas, entre otras.

Para comprender la naturaleza de los fenómenos naturales la física se divide en: estática, dinámica, mecánica de materiales, termodinámica, acústica, electricidad, magnetismo, mecánica de fluidos.

Y para analizar el comportamiento de una partícula o de un sólido se utiliza el análisis matemático como herramienta fundamental, de manera que las condiciones de equilibrio y movimiento son representadas por el cambio o variación en función del tiempo.

Otros tipos de fenómenos son analizados con la herramienta fundamental de la probabilidad, como es el caso de flujos turbulentos o en caso de sistematizar experiencias en donde se recopilen datos como las técnicas de la estadística.

Cuando entran en juego una gran cantidad de variables para definir las características físicas de un fenómeno es necesario utilizar la dinámica lineal, es esta área del conocimiento la que toma en consideración la naturaleza multivariable de un fenómeno, como puede ser, la formación de las costas a la orilla de una fuente de agua como un océano o río.

Las matemáticas fundamentalmente se pueden clasificar como matemáticas continuas o discretas, en cada una de estas divisiones existe una raíz epistemológica, para el caso de las matemáticas continuas son la función, el límite, la continuidad y el infinito; para el caso de las matemáticas discretas están la relación, la recurrencia y el infinito.

Discusión
Cada una de las ideas anteriores tiene un desarrollo conceptual diferente de una aproximación a las raíces noéticas y gnoseológicas que manejan conceptos contrarios en casos extremos como es lo formal y lo intuitivo, lo real y lo ficticio (García, 2006).

En el caso de lo formal se plantea como referencia el rigor, sin embargo se considera que ninguna demostración llega a terminarse nunca pues depende del contexto y de los criterios de la realidad establecida y estructurada en cierto momento histórico, inclusive algunos desarrollos que apelan a la lógica se hacen difíciles de reproducir o son contradictorios, siempre está presente la intuición como elemento que “amarra” y estructura un concepto en cuanto a su veracidad y aplicación.

Las matemáticas apelan a conceptos que están en franca contradicción, definen a los números reales y también a los imaginarios, de manera que producen lo que es conocido como la variable compleja, esta visión permite analizar gran cantidad de problemas de distinto origen y variada naturaleza, permitiendo que se establezca una herramienta fundamental para comprender de manera extensa hechos y fenómenos físicos que no tendrían cabida en un contexto limitado de representaciones analíticas y operativas.

Es indudable que al analizar lo real se recurre a disecciones y filtros cada vez más complejos de manera que enmascaran la naturaleza primitiva del concepto, la precisión, penetración y agudeza de la formalización tienen como contrapartida una estrecha limitación del alcance y la comprensión de la esencia fundamental de la naturaleza del conocimiento.

Es necesario comprender la imposición dicotómica en el proceso de la conceptualización. Para poder comprender la naturaleza de la contradicción se debe considerar que toda posición puede conducir a una contradicción, considerando que es una condición de la dialéctica del conocimiento el proceso natural de su construcción social e histórica, el avance y retroceso del saber se construye teniendo como estructura fundamental la lógica y la reproducibilidad como sinónimo de la verdad.

Las formulaciones originales del conocimiento científico fueron producto de un desarrollo intelectual lleno de esfuerzos cognitivos no exento de dificultades y contradicciones, sin embargo en la actualidad la cultura científica de la sociedad facilita acceder a la comprensión e identificación de los obstáculos epistemológicos fundamentales. Esta condición facilita el aprendizaje de los conceptos fundamentales usando los procesos didácticos idóneos en los contextos adecuados para el sujeto (Morin, 1999).

Para comprender los conceptos matemáticos se requiere, en el sujeto una capacidad lógico-matemático[a] que está en relación a las habilidades de deducir, comparar, medir, sacar conclusiones, verificar, enumerar y otras habilidades cognitivas, de igual manera la capacidad lingüística está en relación directa con las habilidades de sacar conclusiones, comparar, valorar, resumir, describir, observar, narrar, etcétera, así como la capacidad espacial con sus habilidades de comparar, combinar, localizar, observar, deducir, trasferir (Cruz Bermúdez et al., 2013).

Cada una de estas habilidades requiere el desarrollo del pensamiento convergente y divergente tendiente a producir ideas, juicios y el razonamiento matemático en sujetos que aprenden matemáticas.

CONCLUSIONES
En el fenómeno del conocer intervienen dos elementos, el sujeto y el objeto. Cada elemento tiene características propias, sin embargo, ambos componentes están cubiertos por la cultura de un grupo social el cual es resultado de diversos eventos históricos y naturales que están caracterizados por la variación, la reproducción y la conservación.

Todas estas características están inmersas dentro de la comunicación que se articula en un lenguaje cotidiano o un lenguaje como el de las matemáticas donde intervienen el análisis, el azar y la forma, de manera que para comprender el proceso natural del aprendizaje del ser humano, al sujeto se le debe reconocer como parte de un sistema total, un ser bio-psico-social.

Así, las matemáticas son el conocimiento más decantado del intelecto humano. Es necesario que su proceso de aprendizaje se aborde desde una visión poliédrica, es decir, desde muchas caras o facetas, pero con una visión estructurada. Donde se comprendan los actos cognitivos del sujeto mediante una correlación epistemológica del saber, teniendo como resultado observable y visible una ampliación del dominio de interacciones con la realidad personal, en términos específicos, una realidad profesional, que tiene como metas resolver diversos tipos de problemas al tomar decisiones mientras se usa el criterio de una formación científica-técnica determinada (Piaget, 1983).

Para poder comprender este proceso es necesario acercarse con una visión o postura holística, de manera que el abordaje de una investigación se realizará dentro de una visión ideográfica, que tenderá a una explicación de la interacción del sujeto con el objeto del conocimiento, el cual tomará en cuenta la permeabilidad de los fenómenos culturales y sociales mediante la interacción comunicativa, que indique el dominio lingüístico del sujeto en relación con su consciencia reflexiva del objeto matemático y su dominio conceptual y procedimental de los entes matemáticos analizados.

De este modo, el resultado de la comprensión del proceso de aprendizaje de las matemáticas logra una explicación científica de la naturaleza y la capacidad de percibir la naturaleza matemática de los fenómenos físicos, bajo una observación permanente y continua de los hechos fundamentales del fenómeno estudiado. La acción resultante de este proceder será una visión modeladora de los fenómenos naturales en forma racional y con una firme estructura científica del fenómeno, dejando una huella profunda en términos de la creatividad en la formulación de la inventiva natural del ingeniero.

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En la construcción de un paradigma: la investigación en el aprendizaje del conocimiento matemático de ingeniería desde la perspectiva de la complejidad. Año 1. Número 2

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